2012年3月8日木曜日

3次方程式の一般解

三次方程式の一般解を書いてみた


の一般解は次のようになる
三次方程式の一般解はとてつもなく長いので、pやqなどの文字を使って表記する。pやqは以下のとおり



ωはx^3=1の一般解である。
ちなみに、文字で置き換えずに書こうとするとこんなに長くなる


LaTeXでの表記、恐ろしい

x=\begin{ cases } -\frac { b }{ 3a } +{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +{ \omega \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ { \omega  }^{ 2 }\left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +{ \omega  }^{ 2 }{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ { \omega  }^{ 3 }\left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \end{ cases }
p, q
\begin{ eqnarray } p & = & \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \\ q & = & \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \end{ eqnarray }
ω
\begin{ cases } { \omega  }=\frac { -1+i\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ { \omega  }^{ 2 }=\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 }  \\ { \omega  }^{ 3 }=1 \end{ cases }

・まとめバージョン
x=\begin{ cases } -\frac { b }{ 3a } +{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +\frac { -1+i\sqrt { 3 }  }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \end{ cases }



2012年3月4日日曜日

LaTeX導入への道

綺麗な数式や化学式が書けるというので、LaTeXを導入をやってみた。
今回導入に使用したのは土屋 勝氏の「LaTeX初めの一歩」CD-ROM付きなので、サクサク導入できると思う。

注意するべきなのは環境変数の設定、ここがうまくいかないとコマンドが失敗して、文書が作成できない。
環境変数の設定はスタート→コントロールパネル→システムとセキュリティ→システム→システムの詳細設定→環境変数から編集できる。
編集する際には、変数値の打ち間違いに注意、特に変数値を追加するときには「;」を最初に付けないといけない。

上と下では¥と;の違いだが、上の方ではコマンドは失敗してしまう。



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