3次方程式の一般解

三次方程式の一般解を書いてみた

の一般解は次のようになる

三次方程式の一般解はとてつもなく長いので、pやqなどの文字を使って表記する。pやqは以下のとおり



ωはx^3=1の一般解である。

ちなみに、文字で置き換えずに書こうとするとこんなに長くなる

LaTeXでの表記、恐ろしい
解
x=\begin{ cases } -\frac { b }{ 3a } +{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +{ \omega \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ { \omega  }^{ 2 }\left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +{ \omega  }^{ 2 }{ \left\{ -\frac { q }{ 2 } +\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ { \omega  }^{ 3 }\left\{ -\frac { q }{ 2 } -\sqrt { { \left( \frac { q }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { p }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \end{ cases }
p, q
\begin{ eqnarray } p & = & \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \\ q & = & \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \end{ eqnarray }
ω
\begin{ cases } { \omega  }=\frac { -1+i\sqrt { 3 }  }{ 2 }  \\ { \omega  }^{ 2 }=\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 }  \\ { \omega  }^{ 3 }=1 \end{ cases }

・まとめバージョン
x=\begin{ cases } -\frac { b }{ 3a } +{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +\frac { -1+i\sqrt { 3 }  }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \\ -\frac { b }{ 3a } +\frac { 1+\sqrt { 3 } i }{ 2 } { \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) +\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }+{ \left\{ -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right) -\sqrt { { \left( \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { d }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }\left( \frac { c }{ a }  \right) +\frac { 2 }{ 27 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \left( \frac { c }{ a } -\frac { 1 }{ 3 } { \left( \frac { b }{ a }  \right)  }^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } }  \right\}  }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \end{ cases }